Question

6．已知實數(shù)a，b滿足2^a+1+2^b+1=4^a+4^b，則a+b的取值范圍是（-∞，2]．

Answer 1

分析 由已知得（2^a-1）²+（2^b-1）²=2，借助圓的參數(shù)方程得到2^a+2^b=2+$\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ$=2+2sin（$θ+\frac{π}{4}$），由此利用均值定理能求出a+b的取值范圍．

解答 解：∵實數(shù)a，b滿足2^a+1+2^b+1=4^a+4^b，
∴2×2^a+2×2^b=（2^a）²+（2^b）²，
∴（2^a-1）²+（2^b-1）²=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}=1+\sqrt{2}cosθ}\\{{2}^=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，$-\frac{π}{4}＜θ＜\frac{3π}{4}$，
∴2^a+2^b=2+$\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ$=2+2sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∴0＜2^a+2^b≤4，
∴${2}^{a}+{2}^≥2\sqrt{{2}^{a}•{2}^}$=$2\sqrt{{2}^{a+b}}$，
∴${2}^{a+b}≤（\frac{{2}^{a}+{2}^}{2}）^{2}$≤（$\frac{4}{2}$）²=4=2²．
∴a+b≤2．
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查代數(shù)和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程和均值定理的合理運(yùn)用．