Question

如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AD⊥平面ABE，AD=AE，點F在線段DE上，且AF⊥平面BDE．求證：
（1）BE⊥平面ADE；
（2）BE∥平面AFC；
（3）平面AFC⊥平面ADE．

Answer 1

分析：（1）欲證BE⊥平面ADE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需在平面ADE內(nèi)找兩條相交直線與BE垂直即可，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AF⊥BE，AD⊥BE，而AD∩AF=A，滿足定理所需條件；
（2）設(shè)AC與BD交于O，連接FO，然后根據(jù)中位線定理可知BE∥FO，而FO?平面AFC，BE?平面AFC，滿足線面平行的判定定理所需條件；
（3）結(jié)合（1）（2）兩問可知FO⊥平面ADE，而FO?平面AFC，滿足面面垂直的判定定理．

解答：解：（1）∵AF⊥平面BDE，BE?平面BDE，AD⊥平面ABE，BE?平面ABE
∴AF⊥BE，AD⊥BE，而AD∩AF=A
∴BE⊥平面ADE；
（2）設(shè)AC與BD交于O，連接FO
∵AD=AE，AF⊥DE
∴點F為DE的中點，而O為BD的中點
根據(jù)中位線定理可知BE∥FO
而FO?平面AFC，BE?平面AFC
∴BE∥平面AFC；
（3）∵BE⊥平面ADE，BE∥FO
∴FO⊥平面ADE
而FO?平面AFC
∴平面AFC⊥平面ADE．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和面面垂直的判定，同時考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．