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14.已知橢圓Ex2a2+y2b2=1ab0的左右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,短軸一個(gè)端點(diǎn)M(0,b),直線l:4x+3y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn),若|AF1|+|BF1|=6,點(diǎn)M到直線l的距離不小于65,則橢圓E的離心率范圍是(  )
A.053]B.[531C.032]D.[321

分析 設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn),則四邊形AFBF′是平行四邊形,由此推導(dǎo)出a=3,b≥2.從而能求出橢圓E的離心率范圍.

解答 解:如圖所示,設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn),
連接AF′,BF′,則四邊形AFBF′是平行四邊形
∴6=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a,∴a=3.
取M(0,b),∵點(diǎn)M到直線l:4x+3y=0的距離不小于65,
|3b|16+965,解得b≥2.
∴c≤94=5,
∴0<ca53
∴橢圓E的離心率范圍是(0,53).
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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