Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有三個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為

(2k-

1

4

，   2k)（k∈Z）

．

Answer 1

分析：先求出-1≤x≤0時(shí)f（x）的解析式，即得x∈[-1，1]時(shí)f（x）的解析式，再據(jù)周期性可得 x∈[2k-1，2k+1]時(shí)f（x）的解析式，如圖，直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，故直線過頂點(diǎn)或與曲線相切時(shí)，從而可求a的范圍

解答：解：由函數(shù)為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x）
由f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱可得f（2+x）=f（-x）
∴f（x）=f（x+2），即函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．
設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x）
x∈[-1，1]，f（x）=x²
∴x∈[2k-1，2k+1]，f（x）=（x-2k）²其圖象如圖所示
由于直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，在一個(gè)周期[-1，1]上，
a=0時(shí)直線與曲線只要2個(gè)交點(diǎn)，a=-

1

4

時(shí)，在此周期上直線和曲線相切并和曲線在下一個(gè)區(qū)間上圖象有一個(gè)交點(diǎn)． 由于f（x）的周期為2
故在定義域內(nèi)，滿足條件的a 應(yīng)是[2k+0，2k-

1

4

]，k∈Z．
故答案為：(2k-

1

4

，   2k)（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性、奇偶性、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．