(理)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=2
19
,AB=8,BC=6,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)在AD上且AF:FD=1:2.建立適當(dāng)坐標(biāo)系.
(1)求EF的長;
(2)證明:EF⊥PC.
分析:(1)以A為原點(diǎn),
AB
,
AD
,
AP
分別為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件求出F,P,C,E點(diǎn)的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得EF長;
(2)由(1)求出向量
EF
,
PC
的坐標(biāo),只需證明
EF
PC
=0;
解答:解:(1)以A為原點(diǎn),
AB
,
AD
,
AP
分別為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,
由條件知:AF=2,
∴F(0,2,0),P(0,0,2
19
),C(8,6,0),從而E(4,3,
19
),
∴EF=
(4-0)2+(3-2)2+(
19
-0)
2
=6.
(2)證明:
EF
=(-4,-1,-
19
),
PC
=(8,6,-2
19
),
EF
PC
=-4×8+(-1)×6+(-
19
)×(-2
19
)=0,
∴EF⊥PC.
點(diǎn)評:本題考查空間兩點(diǎn)間的距離公式、直線與直線垂直的判定,考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算能力,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2,E為PD的中點(diǎn)
(1)求異面直線PA與CE所成角的大小;
(2)(理)求二面角E-AC-D的大。
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(08年龍巖一中沖刺理)(12分)

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(理)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=2,AB=8,BC=6,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)在AD上且AF:FD=1:2.建立適當(dāng)坐標(biāo)系.
(1)求EF的長;
(2)證明:EF⊥PC.

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