Question

已知點(diǎn)C為圓（x+1）²+y²=8的圓心，點(diǎn)A（1，0），P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為2的直線l與（1）中所求的曲線交于B，D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△BDO的面積．

Answer 1

分析：（1）把題中條件轉(zhuǎn)化為MQ是線段AP的垂直平分線，得出點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C和點(diǎn)A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長(zhǎng)半軸的a=

2

的橢圓即可點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）求出（0，0）到直線L的距離以及利用弦長(zhǎng)公式求出|BD|的長(zhǎng)即可求△BDO的面積．

解答：解：（1）由題得，MQ是線段AP的垂直平分線，故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|=2

2

＞|CA|=2，
于是點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C和點(diǎn)A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長(zhǎng)半軸的a=

2

的橢圓，短半軸b=

a2-b2

=1．
所以點(diǎn)Q的軌跡方程是：

x2

2

+y2=1．．
（2）因直線L過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為2，則直線方程為y=2x+2，即2x-y+2=0．
故點(diǎn)（0，0）到直線L的距離d=

2

22+1

=

2 5

5

．．
把y=2x+2代入（1）中的方程

x2

2

+y²=1，化簡(jiǎn)得9x²+16x+6=0．△=16²-4×9×6=40＞0
．設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

16

9

，x₁•x₂=

2

3

．
∴|BD|=

1+ k2

|x₁-x₂|=

5[(- 16 9 )2-4× 2 3

]=

10 2

9

．
故△BDO的面積S_△BOD=

1

2

•|BD|•d=

2 10

9

．

點(diǎn)評(píng)：在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題時(shí)，一般是利用條件找到動(dòng)點(diǎn)所在曲線或找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．