Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x-3，g（x）=ax²-2x-1，其中實(shí)數(shù)a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-a）（x+a），又a＞0，
∴當(dāng)x＜-a或x＞時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)-a＜x＜時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和（ ，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-a，）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，-a）和（ ，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在（ ，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得 ，解得a≥1，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．
分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．
（2）分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)增區(qū)間，然后令（a，a+2）為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間為的關(guān)系，綜合考查運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，中等題．