已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)為且過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．

證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

 

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）線段的長(zhǎng)為定值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 由題意得，，解得，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)，其中，

直線:，令，得；

直線:，令，得.

設(shè)圓的圓心為，半徑為，

則，

，

而，所以，所以，

所以，即線段的長(zhǎng)為定值.

考點(diǎn)：本題考查了橢圓方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：：從近幾年課標(biāo)地區(qū)的高考命題來(lái)看，解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及范圍、最值、定點(diǎn)、定值、存在性等問(wèn)題，直線與多種曲線的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題將會(huì)逐步成為今后命題的熱點(diǎn)，尤其是把直線和圓的位置關(guān)系同本部分知識(shí)的結(jié)合，將逐步成為今后命題的一種趨勢(shì)

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（m，n）是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求直線l：mx+ny=1被圓O：x2+y2=1所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）過(guò)橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，求l1，l2的方程；
（3）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），過(guò)點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為
2
；P，Q，M，N為橢圓C上的四個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若
PF
∥
FQ
，
MF
∥
FN
且
PF
•
FM
=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）

給定橢圓C：，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍；

（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說(shuō)明理由．

 

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