Question

在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）對任意a∈R，a*0=a；
（3）對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
關于函數(shù)f(x)=(2x)*

1

2x

的性質(zhì)，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)．
其中所有正確說法的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：對于新定義的運算問題常常通過賦值法得到一般性的結(jié)論，本題的關鍵是對f（x）的化簡．

解答：解：在（3）中，令c=0，則a*b=ab+a+b?f(x)=1+2x+

1

2x

，
因x沒有范圍故不能直接利用不等式求最值，故①不正確
而②顯然不正確
而f′(x)=2-

1

2x2

=0?x=±

1

2

，
易知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)，
故選B．

點評：本題是一個新定義運算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關性質(zhì)以及同學們類比運算解決問題的能力．