Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₄+a₆=18，且a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=

1

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a₅=a₄+a₆=18 可求a₅，進(jìn)而可求公差d，從而可求通項(xiàng)
（II）由（I）可得Cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．考慮利用裂項(xiàng)求和進(jìn)行求解

解答：解：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d（2分）
∵2a₅=a₄+a₆=18∴a₅=9
∴d=

a5-a1

4

=2（4分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（6分）
（II）∵Cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（8分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)（10分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，公差公式d=

an-am

n-m

的應(yīng)用，數(shù)列求和的裂項(xiàng)法，解答本題的求和時(shí)要注意裂項(xiàng)后的系數(shù)

1

2

是容易漏掉的，考查學(xué)生的運(yùn)算