Question

已知拋物線(xiàn)P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若拋物線(xiàn)上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離為3．
（�。┣髵佄锞�(xiàn)P的方程；
（ⅱ）設(shè)拋物線(xiàn)P的準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)E作拋物線(xiàn)P的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，連接AO，BO并延長(zhǎng)分別交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，求證：以CD為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（�。┯�求拋物線(xiàn)方程，需求出p值，根據(jù)拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)距離相等，以及拋物線(xiàn)上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離為3，可解得 p，問(wèn)題得解．
（ⅱ）求出E點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出過(guò)E的拋物線(xiàn)P的切線(xiàn)方程，再根據(jù)直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，△=0，即可求出k值，進(jìn)而求出切線(xiàn)方程．
（Ⅱ）設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，以及過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)l方程，代入拋物線(xiàn)方程，求x₁x₂，x₁+x₂，再求C，D點(diǎn)坐標(biāo)，用含x₁，x₂的式子表示坐標(biāo)，在證共線(xiàn)即可．
解答：解：（Ⅰ）（�。┯蓲佄锞�(xiàn)定義可知，拋物線(xiàn)上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)距離相等，
即M（m，2）到的距離為3；
∴，解得p=2．
∴拋物線(xiàn)P的方程為x²=4y．                                       
（ⅱ）拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F（0，1），拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為E（0，-1），
顯然過(guò)點(diǎn)E的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)斜率存在，設(shè)為k，切線(xiàn)方程為y=kx-1．
由，消y得x²-4kx+4=0，
△=16k²-16=0，解得k=±1．                                    
∴切線(xiàn)方程為y=±x-1．                                          
（Ⅱ）直線(xiàn)l的斜率顯然存在，設(shè)l：，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消y得 x²-2pkx-p²=0．   且△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²；
∵A（x₁，y₁），∴直線(xiàn)OA：，
與聯(lián)立可得，同理得．          
∵焦點(diǎn)，
∴，，
∴==
∴以CD為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)方程的求法，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析，避免不必要的錯(cuò)誤．