Question

若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（6，0），且與直線y=1相切，從圓C外一點(diǎn)P（a，b）向該圓引切線PT，T為切點(diǎn)，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)Q（2，-2），且|PT|=|PQ|，試判斷點(diǎn)P是否總在某一定直線l上，若是，求出l的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直線l與x軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N是直線x=6上兩動(dòng)點(diǎn)，且以M，N為直徑的圓E過(guò)點(diǎn)F，圓E是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）確定圓心與半徑，可求圓C的方程；
（Ⅱ）由題可得PT⊥CT，從而可得結(jié)論；
（III）根據(jù)點(diǎn)F在圓E上，故=0，從而可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)圓心C（m，n）由題易得m=3----（1分）    
半徑，----（2分）
得n=-4，r=5----（3分）     
所以圓C的方程為（x-3）²+（y+4）²=25----（4分）
（Ⅱ）解：由題可得PT⊥CT----（5分）   
所以-----（6分）
----（7分）
所以=整理得a-2b+4=0
所以點(diǎn)P總在直線x-2y+4=0上----（8分）
（Ⅲ）證明：F（-4，0）----（9分）   
由題可設(shè)點(diǎn)M（6，y₁），N（6，y₂），
則圓心，半徑----（10分）
從而圓E的方程為----（11分）
整理得x²+y²-12x-（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0又點(diǎn)F在圓E上，故=0
得y₁y₂=-100----（12分）   
所以x²+y²-12x-（y₁+y₂）y-64=0
令y=0得x²-12x-64=0，----（13分）   
所以x=16或x=-4
所以圓E過(guò)定點(diǎn)（16，0）和（-4，0）----（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．