Question

17、6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上，問
（1）空位不相鄰的坐法有多少種？
（2）4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種？
（3）4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種？

Answer 1

分析：（1）空位不相鄰相當(dāng)于將4個(gè)空位安插在6個(gè)人隔開的7個(gè)間隔中，有C₇⁴種插法，得到空位不相鄰的坐法有幾種．
（2）將相鄰的3個(gè)空位當(dāng)作一個(gè)元素，另一空位當(dāng)作另一個(gè)元素，往7個(gè)間隔里插有A₇²種插法，故4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有A₆⁶A₇²種．
（3）4個(gè)空位至少有2個(gè)相鄰的情況有三類：①4個(gè)空位各不相鄰②4個(gè)空位2個(gè)相鄰，另有2個(gè)不相鄰③4個(gè)空位分兩組，每組都有2個(gè)相鄰．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．

解答：解：6個(gè)人排有A₆⁶種，6人排好后包括兩端共有7個(gè)“間隔”可以插入空位．
（1）空位不相鄰相當(dāng)于將4個(gè)空位安插在上述個(gè)“間隔”中，有C₇⁴=35種插法，
故空位不相鄰的坐法有A₆⁶C₇⁴=25200種．
（2）將相鄰的3個(gè)空位當(dāng)作一個(gè)元素，另一空位當(dāng)作另一個(gè)元素，往7個(gè)“間隔”里插
有A₇²種插法，故4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有A₆⁶A₇²=30240種．
（3）4個(gè)空位至少有2個(gè)相鄰的情況有三類：
①4個(gè)空位各不相鄰有C₇⁴種坐法；
②4個(gè)空位2個(gè)相鄰，另有2個(gè)不相鄰有C₇¹C₆²種坐法；
③4個(gè)空位分兩組，每組都有2個(gè)相鄰，有C₇²種坐法．
綜合上述，應(yīng)有A₆⁶（C₇⁴+C₇¹C₆²+C₇²）=115920種坐法．

點(diǎn)評：本題考查插空法和計(jì)數(shù)原理，分類計(jì)數(shù)問題是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，解題時(shí)一定要分清做這件事需要分為幾類，每一類包含幾種方法，把幾個(gè)步驟中數(shù)字相加得到結(jié)果．