Question

14．如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥
AB，M是EC上的點（不與端點重合），F(xiàn)為DA上的點，N為BE的中點．
（Ⅰ）若M是EC的中點，AF=3FD，求證：FN∥平面MBD；
（Ⅱ）若平面MBD與平面ABD所成角（銳角）的余弦值為$\frac{1}{3}$，試確定點M在EC上的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得AE、AB、AD兩兩垂直，以A為原點，分別以AE、AB、AD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{FN}$的坐標，再求出平面MBD的一個法向量$\overrightarrow{m}$，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FN}=0$可得FN∥平面MBD；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CE}$，把M的坐標用λ表示，求出平面BDM的一個法向量，再求出平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值的絕對值為$\frac{1}{3}$求得λ值，則答案可求．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB，
∴以A為原點，分別以AE、AB、AD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N為BE的中點，M是EC的中點，AF=3FD，
得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8），
C（0，8，4），E（8，0，0）．
∴$\overrightarrow{FN}=（4，4，-6）$，$\overrightarrow{DB}=（0，8，-8）$，$\overrightarrow{DM}=（4，4，-6）$．
設(shè)平面MBD的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=8y-8z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=4x+4y-6z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（\frac{1}{2}，1，1）$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FN}$=$\frac{1}{2}×4+1×4-1×6=0$，∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{FN}$，則FN∥平面MBD；
（Ⅱ）解：設(shè)$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CE}$，M（x₁，y₁，z₁），
則$\overrightarrow{CM}$=（x₁，y₁-8，z₁-4），$\overrightarrow{CE}=（8，-8，-4）$，
∴（x₁，y₁-8，z₁-4）=（8λ，-8λ，-4λ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8λ}\\{{y}_{1}-8=-8λ}\\{{z}_{1}-4=-4λ}\end{array}\right.$，得M（8λ，8-8λ，4-4λ），
∴$\overrightarrow{DM}=（8λ，8-8λ，-4-4λ）$．
設(shè)平面BDM的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=8{y}_{2}-8{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=8λ{x}_{2}+（8-8λ）{y}_{2}-（4+4λ）{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=1，得$\overrightarrow{n}=（\frac{3λ-1}{2λ}，1，1）$．
平面ABD的一個法向量為$\overrightarrow{t}=（1，0，0）$，
由|cos＜$\overrightarrow{t}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{t}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{t}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{3λ-1}{2λ}}{1×\sqrt{（\frac{3λ-1}{2λ}）^{2}+2}}$|=$\frac{1}{3}$，得8λ²-6λ+1=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{1}{4}$．
∵平面MBD與平面ABD所成角（銳角）的余弦值為$\frac{1}{3}$，∴$λ=\frac{1}{2}$，即M為EC中點．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查存在性問題的求解方法，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．