Question

（2013•泰安一模）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成6個(gè)等級，等級系數(shù)ξ依次為1，2，3，4，5，6，按行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級系數(shù)ξ≥5的為一等品，3≤ξ＜5的為二等品，ξ＜3的為三等品．
若某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品均符合行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下；

（I）以此30件產(chǎn)品的樣本來估計(jì)該廠產(chǎn)品的總體情況，試分別求出該廠生產(chǎn)原一等品、二等品和三等品的概率；
（II）已知該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與產(chǎn)品的等級系數(shù)ζ的關(guān)系式為y=

1，ξ＜3 2，3≤ξ＜5 4，ξ≥5

，若從該廠大量產(chǎn)品中任取兩件，其利潤記為Z，求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由樣本數(shù)據(jù)，結(jié)合行業(yè)規(guī)定，確定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）確定Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8．用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得Z的分布列，從而可求數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中等級系數(shù)ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）
∴樣本中一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為0.2--------（4分）
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的二等品率為0.3；--------------（5分）
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的三等品的頻率為0.5．----------（6分）
（II）∵Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8．
用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得
P（Z=2）=0.5×0.5=

1

4

，P（Z=3）=2×

1

2

×

3

10

=

3

10

，
P（Z=4）=

3

10

×

3

10

=

9

100

，P（Z=5）=2×

1

2

×

1

5

=

1

5

，
P（Z=6）=2×

3

10

×

1

5

=

3

25

，P（Z=8）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）

其數(shù)學(xué)期望EX=3.8（元）-----------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查統(tǒng)計(jì)知識，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題時(shí)利用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率．