Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上 兩點(diǎn)，所成的曲線可以是圓，橢圓或雙曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系;

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；

當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．

（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，由條件可得，

即，又的坐標(biāo)滿足，故依題意，曲線的方程為．  

當(dāng)曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；

當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線． 

（Ⅱ）曲線；，：， 設(shè)圓的斜率為的切線和橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，令直線AB的方程為，①

將其代入橢圓的方程并整理得

由韋達(dá)定理得②

因?yàn)?nbsp;，所以    ③

將①代入③并整理得 

聯(lián)立②得④，因?yàn)橹本�AB和圓相切，因此，，

由④得 所以曲線的方程，即．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查圓錐曲線的軌跡問題，突出化歸思想、分類討論思想、方程思想的考查，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．