Question

已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點．

（Ⅰ）證明：//平面；

（Ⅱ）證明：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）

證明：連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)EO．                                      ……1分

O為BD中點，E為PD中點，

∴EO//PB．                                                              ……2分

EO平面AEC，PB平面AEC，                                          ……3分

∴ PB//平面AEC．                       

（Ⅱ）

證明：

PA⊥平面ABCD．平面ABCD，

∴．                                                           ……4分

又在正方形ABCD中且，                         ……5分

∴CD平面PAD．                                                        ……6分

又平面PCD，

∴平面平面．                                               ……7分

（Ⅲ）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空

間直角坐標系．

                                          ……8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．                                  ……9分

PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．

設平面AEC的法向量為, ,

則  即 

∴

∴令,則.                                            ……11分

∴,                             ……12分

二面角的正弦值為.                                      ……13分

考點：本小題主要考查線面平行和面面垂直的證明和二面角的求法，考查學生的空間想象能力和運算求解能力.

點評：證明線面平行和面面垂直時，要緊扣定理要求的條件，缺一不可，用向量求二面角時，要注意所求的二面角時銳角還是鈍角.