Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足

an-1

Sn

=

a-1

a

（a＞0），數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•log_aa_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出；
（2）利用（1）可得bn=an•lo

g

an a

=naⁿ．當(dāng)a=1時，T_n=1+2+…+n利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出；當(dāng)a≠1時，T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，利用錯位相減法和等比數(shù)列的前n項公式即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=a＞0且a≠1，
當(dāng)n≥2時，Sn=

a

a-1

(an-1)，Sn-1=

a

a-1

(an-1-1)，
兩式相減得an=

a

a-1

(an-an-1)，化為

an

an-1

=a，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，an=an；
（2）bn=an•lo

g

an a

=naⁿ．
當(dāng)a=1時，T_n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

．
當(dāng)a≠1時，T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，
aTn=a2+2a3+…++（n-1）aⁿ+naⁿ⁺¹，
∴（1-a）T_n=a+a²+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a(an-1)

a-1

-nan+1，
∴T_n=

a+(na-n-1)an+1

(a-1)2

．

點評：熟練掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、等差數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法和等比數(shù)列的前n項公式是解題的關(guān)鍵．