Question

已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上無零點，求的最小值；
（3）若對任意的，在上存在兩個不同的使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）的最小值為；
（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)在上無零點的問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線在區(qū)間上無交點，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在區(qū)間上的圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍，從而確定的最小值；（3）先研究函數(shù)在上的單調(diào)性，然后再將題干中的條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，利用兩個函數(shù)的最值或端點值進(jìn)行分析，列出相應(yīng)的不等式，從而求出的取值范圍.
試題解析：（1）時，
由得    得
故的減區(qū)間為 增區(qū)間為             3分
（2）因為在上恒成立不可能
故要使在上無零點，只要對任意的，恒成立
即時，                      5分
令
則
再令
   于是在上為減函數(shù)
故
在上恒成立
在上為增函數(shù)
 在上恒成立
又
故要使恒成立，只要
若函數(shù)在上無零點，的最小值為           8分
（3）
當(dāng)時，，為增函數(shù)
當(dāng)時，，為減函數(shù)

函數(shù)在上的值域為                      9分
當(dāng)時，不合題意
當(dāng)時，
故
①                                     10分
此時，當(dāng)變化時，，的變化情況如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

時，，

任意定的，在區(qū)間上存在兩個不同的 
使得成立，
當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件
即  ②
即  ③                    11分
令
 令得
當(dāng)時， 函數(shù)為增函數(shù)
當(dāng)時， 函數(shù)為減函數(shù)
所以在任取時有
即②式對恒成立                      13分
由③解得  ④
由①④ 當(dāng)時
對任意，在上存在兩個不同的使成立