Question

4．連接原點(diǎn)O和拋物線2y=x²上的動(dòng)點(diǎn)M，延長(zhǎng)OM到P點(diǎn)，使|OM|=|MP|，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是何曲線．

Answer 1

分析 可設(shè)M（x₀，y₀），P（x，y），根據(jù)|OM|=|MP|便知M為OP的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可用x，y表示x₀，y₀，這樣帶入$2{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$即可得出點(diǎn)P的軌跡方程，從而可判斷方程所表示的曲線．

解答 解：如圖，
設(shè)M（x₀，y₀），P（x，y），則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}={x}_{0}}\\{\frac{y}{2}={y}_{0}}\end{array}\right.$；
∵點(diǎn)M在拋物線上；
∴$2{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$；
∴$2•（\frac{y}{2}）=（\frac{x}{2}）^{2}$；
整理得x²=4y；
∴P點(diǎn)的軌跡為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y正半軸的拋物線．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)軌跡及軌跡方程的概念，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解過(guò)程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式．