Question

若直線mx+ny=4和圓：x²+y²=4沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)（m，n）直線與橢圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1. A.
   0 個(gè)
2. B.
   1個(gè)
3. C.
   2 個(gè)
4. D.
   3個(gè)

Answer 1

C
分析：由直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒(méi)有公共點(diǎn)，得到點(diǎn)P（m，n）是x²+y²=4圓內(nèi)的點(diǎn)．進(jìn)而得到點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，由此能求出過(guò)點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)．
解答：∵直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴原點(diǎn)到直線mx+ny-4=0的距離d=＞2，
解得m²+n²＜4，
∴點(diǎn)P（m，n）是x²+y²=4圓內(nèi)的點(diǎn)．
∵橢圓的長(zhǎng)半軸2，短半軸為 2
∴圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓，
∴點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，
∴過(guò)點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，具體涉及到圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．