已知函數(shù)f（x）=cos
2x
5
+sin
2x
5
（x∈R），給出以下命題：①函數(shù)f（x）的最大值是2；②周期是
5π
2
；③函數(shù)f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離是
5π
2
； ④對任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤點（
15π
8
，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心．其中正確命題的序號是
③⑤
③⑤
．
分析：利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）=
2
sin（
2x
5
+
π
4
），由此確定函數(shù)的對稱性、周期性、最值，從而得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=cos
2x
5
+sin
2x
5
=
2
sin（
2x
5
+
π
4
） （x∈R），故其最大值等于
2
，周期等于
2π
2
5
=5π，兩條相鄰的對稱軸之間的距離是
5π
2
，
故①②不正確，③正確．
令
2x
5
+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈z，可得 x=
5kπ
2
+
5π
8
，k∈z，故函數(shù)f（x）的對稱軸為 x=
5kπ
2
+
5π
8
，k∈z，故函數(shù)不關(guān)于x=
5π
2
對稱，故④不正確．
當x=
15π
8
時，函數(shù)f（x）=
2
sin（
2
5
×
15π
8
+
π
4
）=sinπ=0，故點（
15π
8
，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，故⑤正確．
綜上，只有③⑤正確，
故答案為：③⑤．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的對稱性、周期性、最值，利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）=
2
sin（
2x
5
+
π
4
），
是解題的突破口，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
|x+
1
x
|，x≠0
0     x=0
，則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5個不同實數(shù)解的充要條件是（　�。�
A、b＜-2且c＞0
B、b＞-2且c＜0
C、b＜-2且c=0
D、b≥-2且c=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足sinB-2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1，g（x）=x2-2bx+4，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)的值域為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（0）≥2，f（1）≥2，方程f（x）=0在區(qū)間（0，1）上有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為
（4，+∞）
（4，+∞）
．

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