Question

6．觀察下列等式，猜想一個(gè)一般性的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
1-x²=（1-x）（1+x），
1-x³=（1-x）（1+x+x²），
1-x⁴=（1-x）（1+x+x²+x³）．

Answer 1

分析 歸納猜想得：1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*．檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立

解答 解：歸納猜想得：1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*．
證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-x，右邊=1-x，猜想成立；         
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即1-x^k=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1）成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，右邊=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1+x^k）
=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1）+（1-x）x^k=1-x^k+（1-x）x^k=1-x^k+1=左邊
所以n=k+1時(shí)猜想也成立．
由①②可得，1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．