Question

14．已知圓C：（x-6）²+y²=20，直線l：y=kx與圓C交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意可得圓心C（6，0）到直線l：y=kx的距離小于半徑$\sqrt{20}$，由此求得k的范圍．
（Ⅱ）把直線l：y=kx代入圓C，化簡后利用韋達定理，再根據(jù)$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，可得x₂=2x₁，從而求得k的值，可得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，圓心C（6，0）到直線l：y=kx的距離小于半徑$\sqrt{20}$，
即 $\frac{|6k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜$\sqrt{20}$，求得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅱ）把直線l：y=kx代入圓C：（x-6）²+y²=20，化簡可得（1+k²）x²-12x+16=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12}{1{+k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16}{1{+k}^{2}}$．
若$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，則x₂=2x₁，則x₁=$\frac{4}{1{+k}^{2}}$，x₂=$\frac{8}{1{+k}^{2}}$，∴則x₁•x₂=$\frac{4}{1{+k}^{2}}$•$\frac{8}{1{+k}^{2}}$=$\frac{16}{{1+k}^{2}}$，∴k=±1，
故直線l：y=±x．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題．