Question

19．已知函數(shù)f（x），定義$F（f（x））=\left\{\begin{array}{l}1，x＜f（x）\\ 0，x=f（x）\\-1，x＞f（x）.\end{array}\right.$
（Ⅰ）寫出函數(shù)F（2x-1）的解析式；
（Ⅱ）若F（|x-a|）+F（2x-1）=0，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）當$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$時，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零點個數(shù)和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由新定義，討論2x-1＞x，2x-1=x，2x-1＜x，解不等式即可得到所求函數(shù)F（2x-1）；
（Ⅱ）討論x＞1，x=1，x＜1，由F（2x-1），求得F（|x-a|），運用恒成立思想，即可得到a的值；
（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，結(jié)合新定義和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得零點個數(shù)；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化簡h（x），分別求得值域，即可得到所求h（x）在$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$時的值域．

解答 解：（Ⅰ）定義$F（f（x））=\left\{\begin{array}{l}1，x＜f（x）\\ 0，x=f（x）\\-1，x＞f（x）.\end{array}\right.$，
當2x-1＞x，可得x＞1，則F（2x-1）=1；
當2x-1=x，可得x=1，則F（2x-1）=0；
當2x-1＜x，可得x＜1，則F（2x-1）=-1；
可得F（2x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞1}\\{0，x=1}\\{-1，x＜1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）當x＞1時，F(xiàn)（2x-1）=1，F(xiàn)（|x-a|）=-1，
即有|x-a|＜x恒成立，即為a²≤2ax在x＞1恒成立，
即有a²≤2a，解得0≤a≤2；
當x=1時，F(xiàn)（2x-1）=0，F(xiàn)（|x-a|）=0，
可得|1-a|=1，解得a=0或2；
當x＜1時，F(xiàn)（2x-1）=-1，F(xiàn)（|x-a|）=1，
即有|x-a|＞x恒成立，即為a²≥2ax在x＜1恒成立，
即有a²≥2a，解得a≥2或a≤0；
則a的值為0或2；
（Ⅲ）當$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$時，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，
可得cosx=0或F（x+sinx）=0，
即有x=$\frac{π}{2}$；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，
則h（x）的零點個數(shù)為2；
當x+sinx＞x，即$\frac{π}{3}$≤x＜π時，h（x）=cosx∈（-1，$\frac{1}{2}$]；
當x+sinx=x，即x=π時，h（x）=0；
當x+sinx＜x，即π＜x≤$\frac{4π}{3}$時，h（x）=-cosx∈[$\frac{1}{2}$，1）．
綜上可得，h（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查分類討論思想方法，以及不等式的解法和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．