Question

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間，講座開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：分），可以有以下公式：f(x)=

-0.1x2+2.6x+43 59 -3x+107

(0＜x≤10) (10＜x≤16) (16＜x≤30)

（1）開講多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？
（2）開講5分鐘與開講20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？
（3）一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9，可得f（x）在0＜x≤10時(shí)單調(diào)遞增，最大值為f（10）=59．當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）=59；當(dāng)x＞16時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59．即可得出．
（2）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47，即可得出；
（3）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；當(dāng)x＞16時(shí)，令f（x）=55，解得x=17

1

3

，即可得到學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力55的狀態(tài)的時(shí)間，進(jìn)而判斷出老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
f（x）在0＜x≤10時(shí)單調(diào)遞增，最大值為f（10）=-0.1×（10-13）²+59.9=59．
當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）=59；當(dāng)x＞16時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59．
因此開講10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)（為59），能維持6分鐘．
（2）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47＜53.5，
因此開講5分鐘比開講20分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力強(qiáng)一些．
（3）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；
當(dāng)x＞16時(shí)，令f（x）=55，解得x=17

1

3

，
可得學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力55的狀態(tài)的時(shí)間=17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
因此老師不能及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的意義、二次函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．