Question

已知數(shù)列，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；
（3）設(shè)，其中為常數(shù)，且，
，求.

Answer 1

解：⑴∵=，∴
，
∵∴為常數(shù)∴數(shù)列為等比數(shù)列
⑵取數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，
∵，
，∴，即，
∴數(shù)列中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；            
⑶當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。
由得，
設(shè)，則是上的減函數(shù)，∴的解只有一個(gè)
從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。
從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；
綜上，當(dāng)，或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，。      

解析