Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=6，且a_n+1=a_n+1；數(shù)列{b_n}中，點(diǎn)B_n（n，b_n）在過點(diǎn)（0，1）且以（1，2）為方向向量的直線l上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若f（n）=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

問是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由遞推式易判斷{a_n}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得a_n，根據(jù)直線方向向量及所過點(diǎn)坐標(biāo)可寫出直線l方程，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入即求得b_n；
（2）先假設(shè)存在滿足條件的k存在，由（1）求出f（n）解析式，然后按k為偶數(shù)、k為奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論表示出f（k+27）=4f（k），解出即可；

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為6，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n+5．
又直線l的方程為y=2x+1，
∴b_n=2n+1．
（2）假設(shè)滿足條件的k存在，
由（1）得：f（n）=

n+5，n為奇數(shù) 2n+1，n為偶數(shù)

，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k+27為奇數(shù)，
因?yàn)閒（k+27）=4f（k），所以k+27+5=4（2k+1），解得k=4，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+27為偶數(shù)，
所以2（k+27）+1=4（k+5），解得k=

35

2

（舍），
綜上，存在k=4符號(hào)條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列及數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查分類討論思想，考查學(xué)生的探究能力解決問題的能力，屬中檔題．