如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2PA,D、E分別是棱AB,AC上的動點(diǎn),且AD=CE,連接DE,當(dāng)三棱錐P-ADE體積最大時,平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值為( 。
A.
1
2
B.
3
2
C.
21
14
D.
5
7
14

由題意,設(shè)AB=BC=CA=2PA=2,AD=CE=t,則三棱錐P-ADE體積為
1
3
×
1
2
×t×(2-t)×
3
2
=
3
12
(-t2+2t)

=-
3
12
(t-1)2+
3
12

∴t=1時,三棱錐P-ADE體積最大,此時,D、E分別是棱AB,AC上的中點(diǎn)
取DE中點(diǎn)M,BC中點(diǎn)N,連接PM,MN,PN,則
∵DEBC,PM⊥DE,PN⊥BC
∴∠MPN為平面PDE和平面PBC所成二面角,
在△MNP中,PM=
7
2
,MN=
3
2
,PN=2,
∴cos∠MPN=
PM2+PN2-MN2
2PM•PN
=
7
4
+4-
3
4
2•
7
2
•2
=
5
7
14

故選D.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∠ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=
3

(1)求證:A1C⊥平面AB1C1
(2)求A1B1與平面AB1C1所成的角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),且SD⊥面ABCD,AB=1,SB=
3

(1)求證:BC⊥SC;
(2)設(shè)M為棱SA中點(diǎn),求異面直線DM與SB所成角的大小
(3)求面ASD與面BSC所成二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,則二面角O1-BC-D的大小為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求二面角E-AB-D的大。
(2)求四面體ABDE的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正方體AC1
(1)在BD上確定一點(diǎn)E,使D1E面A1C1B;
(2)求直線BB1和面A1C1B所成角的正弦值;
(3)求面A1C1B與底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

把邊長為a的正△ABC沿高線AD折成60°的二面角,這時A到邊BC的距離是( 。
A.
15
4
a
B.
6
3
a
C.
13
4
a
D.
3
2
a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,正三角形ABC按中線AD折疊,使得二面角B-AD-C的大小為60°,則∠BAC的余弦值為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D為AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別在線段AC,BC上,且EFAB,EF交CD于G,把△ADC沿CD折起,如圖所示,

(1)求證:E1F平面A1BD;
(2)當(dāng)二面角A1-CD-B為直二面角時,是否存在點(diǎn)F,使得直線A1F與平面BCD所成的角為60°,若存在求CF的長,若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案