Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=，D為AA₁中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO丄側(cè)面ABB₁A_1.

(Ⅰ)證明：BC丄AB₁；

(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061509493302426809/SYS201306150950304461416767_DA.files/image001.png">是矩形，推出，

又，得到，所以，得到,得到          

（Ⅱ）二面角的余弦值為 .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061509493302426809/SYS201306150950304461416767_DA.files/image001.png">是矩形，

為中點(diǎn)，，，,

所以在直角三角形中,,

在直角三角形中,,

所以=,

又，   ，

所以在直角三角形中，故，

即，               4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061509493302426809/SYS201306150950304461416767_DA.files/image003.png">，,

所以

所以，,,

故           6分

（Ⅱ）解法一：

如圖，由（Ⅰ）可知，兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

在RtDABD中，可求得,,，

在RtDABB­₁中，可求得 ，

故,,,

所以 ,,

可得，               8分

設(shè)平面的法向量為 ，則 ，

即，

取，則 ，         10分

又，

故，

所以，二面角的余弦值為              12分

解法二：連接交于,連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061509493302426809/SYS201306150950304461416767_DA.files/image003.png">，所以，又，

所以，故

所以為二面角的平面角            8分

，，  ，

,   ，

在RtDCOB­₁中，

 ，               10分

又    ，

故二面角的余弦值為 .            12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。