已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F在直線x-y+1=0上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-2），且與拋物線C有且只有一個公共點(diǎn)，求直線l的方程．
【答案】分析：（1）先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得拋物線的方程；
（2）考慮斜率是否存在，利用判別式為0，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由拋物線方程x2=2py （p＞0），知其焦點(diǎn)在y軸正半軸上，
在直線x-y+1=0中，令x=0，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），所以，即p=2，
故拋物線C的方程是x2=4y．
（2）直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）-2，
由方程組 消去y，得x2-4kx-4k+8=0，
因為直線l與拋物線C有且只有一個公共點(diǎn)，所以△=16k2-4（8-4k）=0，解得k=-2或k=1．
此時直線l的方程為2x+y+4=0或x-y-1=0；
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，直線l與拋物線C有且只有一個公共點(diǎn)．
綜上，可得當(dāng)直線l的方程為2x+y+4=0，x-y-1=0或x=-1時，直線l與拋物線C有且只有一個公共點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上的一點(diǎn)Q（m，2）到其焦點(diǎn)F的距離為3．
（I）求拋物線C的方程；
（II）過坐標(biāo)平面上的點(diǎn)F′作拋物線C的兩條切線l1和l2，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)．
（i ）若點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，-1），如圖，求證：△ABF′的外接圓過點(diǎn)F；
（ii）試探究：若改變點(diǎn)F'的位置，或拋物線的開口大小，（i）中的結(jié)論是否仍然成立？由此給出一個使（i）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明．

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（i ）若點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，-1），如圖，求證：△ABF′的外接圓過點(diǎn)F；
（ii）試探究：若改變點(diǎn)F'的位置，或拋物線的開口大小，（i）中的結(jié)論是否仍然成立？由此給出一個使（i）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明．

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