已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M（
5
，
3
）在雙曲線上． 
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0，求
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
的值．
分析：（Ⅰ）利用雙曲線的離心率e=2，點(diǎn)M（
5
，
3
）在雙曲線上，建立方程，結(jié)合c2=a2+b2，即可求得雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)OP直線方程為y=kx，OQ直線方程為y=-
1
k
x，分別與雙曲線方程聯(lián)立，計(jì)算
1
|OP|2
、
1
|OQ|2
，即可求得
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
的值．
解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線的離心率e=2，點(diǎn)M（
5
，
3
）在雙曲線上
∴
c
a
=2，
5
a2
-
3
b2
=1 
∵c2=a2+b2
∴a2=4，b2=12
∴雙曲線的方程為
x2
4
-
y2
12
=1 ；
（Ⅱ）設(shè)OP直線方程為y=kx，OQ直線方程為y=-
1
k
x
y=kx代入雙曲線方程，可得
x2
4
-
(kx)2
12
=1 ，∴x2=
12
3-k2
，
∴y2=
12k2
3-k2

∴
1
|OP|2
=
1
x2+y2
=
3-k2
12(1+k2)

同理，
1
|OQ|2
=
3k2-1
12(1+k2)

∴
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
=
1
6
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過(guò)其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問(wèn)：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過(guò)定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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