Question

8．等差數(shù)列{a_n}中，a₃=8，a₇=20，若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{4}{25}$，則n的值為16．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出a₁=2，d=3，從而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}$），進而得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}$），由此利用數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{4}{25}$，能求出n的值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=8，a₇=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=8}\\{{a}_{7}={a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為：
S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}$），
∵數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{4}{25}$，∴$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{4}{25}$，
解得n=16．
故答案為：16．

點評 本題考查等差數(shù)列的項數(shù)n的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．