Question

（1）在伸縮變換

x′=2x y′= 3 y

下圓x²+y²=1變?yōu)榍�線C．求曲線C的方程，并指出曲線的類型；當(dāng)曲線C的動點(diǎn)M到直線L：

3

ρcosθ+2ρsinθ+5

6

=0距離的最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）．
①作出函數(shù)f（x）的圖象；
②若不等式f（x）≥5的解集為（-∞，-2]∪[3，+∞），求a值．

Answer 1

分析：（1）利用伸縮變換求出曲線C的方程，根據(jù)ρsinθ=y，ρcosθ=x，把極坐標(biāo)方程化為普通方程得到直線l的方程，設(shè)出曲線C參數(shù)方程一點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，利用兩角和的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的值域即可求出d的最大值．
（2）①根據(jù)題意，化簡絕對值可得，函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x-1+a       (x＜-1) a+1     (-1 ≤x ≤ a) 2x+1-a    (x＞2 )

，進(jìn)而做出其圖象．
②由題設(shè)知：|x+1|+|x-a|≥5，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=5的圖象，當(dāng)x=-2或3時(shí)，f（x）=5，且a+1＜5即a＜4，由f（-2）=5 求得 a 的值．

解答：解：（1）由x′=2x，y′=

3

y得x=

x′

2

，y=

y′

3

代入x²+y²=1
即曲線C：

x2

4

+

y2

3

=1．
該曲線是橢圓．其參數(shù)方程為：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）
設(shè)橢圓C上動點(diǎn)M(2cosθ，

3

sinθ)，(0≤θ＜2π)
到直線L：

3

x+2y+5

6

=0的距離為d=

|2 3 cosθ+2 3 sinθ+5 6 |

7

=

|2 6 sin(θ+ π 4 )+5 6 |

7

≤

42

．
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，曲線C的動點(diǎn)M到直線L的距離最大，此時(shí)M(

2

，

6

2

)…（7分）

（2）①f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x-1+a       (x＜-1) a+1     (-1 ≤x ≤ a) 2x+1-a    (x＞2 )

，
函數(shù)f（x）如圖所示．
②由題設(shè)知：|x+1|+|x-a|≥5，
如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=5的圖象
（如圖所示）
又解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）．
由題設(shè)知，當(dāng)x=-2或3時(shí)，f（x）=5
且a+1＜5即a＜4，
由f（-2）=-2（-2）-1+a=5得：a=2．

點(diǎn)評：本題考查伸縮變換、簡單曲線的極坐標(biāo)方程、絕對值不等式的解法，函數(shù)圖象的特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，第（2）小題畫出函數(shù)f（x）的圖象，是解題的關(guān)鍵．