Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，且S_n=

an(an+1)

2

，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2a_n-1）2 an，M_n=b₁+b₂+…+b_n，求M_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用再寫一式，兩式相減的方法，確定數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）利用錯位相減法得到前n項和M_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵Sn=

an(an+1)

2

，n∈N*，n=1時，a1=S1=

a1(a1+1)

2

，
∴a₁=1或a₁=0．又a_n＞0，∴a₁=1．
由

2Sn= a 2 n +an，n∈N* 2Sn-1= a 2 n-1 +an-1，n≥2

，得2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n…（6分）
（Ⅱ）bn=(2n-1)2n，
∴Mn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n，…①
∴2M_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹…②
由①-②得-Mn=1•2+2•22+23+…+2•2n-(2n-1)•2n+1=

4-2n+2

1-2

-(2n-1)2n+1-2
∴Mn=(2n-3)•2n+1+6．…（12分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)及通項公式、求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．