Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為10，當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)f（x）有極值36．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若直線l₁，l₂過點(diǎn)（s，t）且于函數(shù)y=f（x）的圖象相切，切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B，求證直線x=s平分線段AB；
（Ⅲ）若g（x）=10lnx+m，試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象于y=g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=2a+b=10 f(6)=36a+6b+c=36 f′(6)=12a+b=0

，解之得

a=-1 b=12 c=0

．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為M（X，Y），則過點(diǎn)M的切線方程為y-Y=（-2x+12）（x-X），又該切線過點(diǎn)（s，t），則得t+X²-12X=（-2X+12）（s-X），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₁，x₂是X²-2sX+12s-t=0的兩個(gè)根，∴x0=

x1+x2

2

=

2s

2

=s，故直線x=s平分線段AB；
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）=x²-12x+10lnx+m，則問題等價(jià)于函數(shù)y=φ（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
得到φ′(x)=2x-12+

10

x

=

2x2-12x+10

x

=

2(x-1)(x-5)

x

，（x＞0）進(jìn)而得到φ（x）的極大值為φ（1）=m-11；φ（x）的極小值為φ（5）=m+10ln5-35
由題意知，要使φ（x）=0有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須φ（1）=m-11=0或φ（5）=m+10ln5-35=0，解出m即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=2a+b=10 f(6)=36a+6b+c=36 f′(6)=12a+b=0

解之得

a=-1 b=12 c=0

∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+12x．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為M（X，Y），則Y=-X²+12X．
點(diǎn)M處切線的斜率為f'（x）=-2x+12，
過點(diǎn)M的切線方程為y-Y=（-2x+12）（x-X），…（6分）
又該切線過點(diǎn)（s，t），∴t-Y=（-2x+12）（s-X），
即t+X²-12X=（-2X+12）（s-X），
整理可得X²-2sX+12s-t=0，…．（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則x₁，x₂是X²-2sX+12s-t=0的兩個(gè)根，∴x0=

x1+x2

2

=

2s

2

=s，故直線x=s平分線段AB．…（10分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）=x²-12x+10lnx+m
因?yàn)閤＞0，要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)y=φ（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴φ′(x)=2x-12+

10

x

=

2x2-12x+10

x

=

2(x-1)(x-5)

x

，（x＞0）…（12分）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，5）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x=1或x=5時(shí)，φ'（x）=0
∴φ（x）的極大值為φ（1）=m-11；φ（x）的極小值為φ（5）=m+10ln5-35．…（14分）
又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，φ（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，φ（x）→+∞．
所以要使φ（x）=0有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須φ（1）=m-11=0或φ（5）=m+10ln5-35=0
解得m=11或m=35-10ln5．
∴當(dāng)m=11或m=35-10ln5時(shí)，函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象
有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)…（16分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了極值的意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，分類討論的思想方法，屬于中檔題．