Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）問：數(shù)列是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求S_n和a_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．證明如下：
∵n≥2時，a_n+2S_nS_n-1=0，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0
∴-=2
∵，∴=2
∴數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=2+2（n-1）=2n，∴S_n=；
∵n≥2時，a_n+2S_nS_n-1=0，
∴a_n=-2××=
∴a_n=．
分析：（Ⅰ）數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，利用數(shù)列遞推式，可得-=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=2+2（n-1）=2n，可得S_n的值，進而可求a_n．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和與通項，正確運用數(shù)列遞推式是關(guān)鍵．