Question

如圖，假設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B、D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有下面4個(gè)條件：
①AC⊥β；
②AC與α、β所成的角相等；
③AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；
④AC∥EF．
其中能成為增加條件的是

①③

．（把你認(rèn)為正確的條件的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：假設(shè)BD⊥EF，由條件AB⊥α，CD⊥α得AB⊥EF，CD⊥EF，則只需證明EF⊥面ABDC即可．

解答：解：①若AC⊥β，則AC⊥EF，由AB⊥α的AB⊥EF，因?yàn)锳B∩AC=A，所以EF⊥面ABDC，所以BD⊥EF．正確．
②當(dāng)AC∥EF時(shí)，滿足AC與α、β所成的角相等，但此時(shí)無(wú)法得到EF⊥面ABDC，所以錯(cuò)誤．
③因?yàn)锳B⊥α，CD⊥α所以AB∥CD．若AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；則必有面ABDC⊥β，所以EF⊥面ABDC成立．
④若AC∥EF，則AC∥β，且AC∥α，所以AC∥BD，從而EF∥BD，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判斷和性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．