Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²+4n+1，數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2，且點(diǎn)（b_n，b_n+1）在直線y=2x上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n與S_n的關(guān)系可得通項(xiàng)公式，又可得{b_n}是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，當(dāng)n=1時(shí)，c₁=a₁•b₁=14，當(dāng)n≥2時(shí)，由錯(cuò)位相減法可得答案，驗(yàn)證所得的式子當(dāng)n=1時(shí)也成立，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由Sn=2n2+4n+1得Sn-1=2(n-1)2+4(n-1)+1，--------（1分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2+4n+1-2(n-1)2-4(n-1)-1=4n+2(n≥2)---------（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，代入已知可得a₁=7，-----------------------------（3分）
綜上an=

4n+2(n≥2) 7(n=1)

．--------------------------（4分）
∵點(diǎn)（b_n，b_n+1）在直線y=2x上，∴b_n+1=2b_n，又b₁=2，------------------（5分）
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，∴bn=2n．------------------（7分）
（2）由（1）知，當(dāng)n=1時(shí)，c₁=a₁•b₁=14；--------------（8分）
當(dāng)n≥2時(shí)，cn=an•bn=(4n+2)•2n=(2n+1)•2n+1，---------------（9分）
所以當(dāng)n=1時(shí)，T₁=c₁=14；
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=c1+c2+c3+…+cn=14+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1①
則2Tn=28+5×24+…+(2n-1)•2n+1+(2n+1)•2n+2②----------（10分）
②-①得：Tn=14-5×23-25-26-…-2n+2+(2n+1)•2n+2-------------（12分）
即Tn=14-5×23-

25(2n-2-1)

2-1

+(2n+1)•2n+2=(2n-1)•2n+2+6，---------------（13分）
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，T1=(2×1-1)•21+2+6=14，
所以Tn=(2n-1)•2n+2+6．----------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及錯(cuò)位相減求和法，屬中檔題．