Question

12．已知圓C的圓心為點(diǎn)C（-2，1），且經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+1與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且$|MN|=2\sqrt{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+1與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且$|MN|=2\sqrt{3}$，可得圓心C到直線y=kx+1的距離為$d=\sqrt{2}$，利用點(diǎn)到直線的距離公式求k的值．

解答 解：（Ⅰ）圓C的半徑$r=\sqrt{{{（0+2）}^2}+{{（2-1）}^2}}=\sqrt{5}$------------------（2分）
由圓心為點(diǎn)C（-2，1），所以圓C的方程為（x+2）²+（y-1）²=5-------------（3分）
（Ⅱ）圓心為點(diǎn)C（-2，1），半徑為$\sqrt{5}$，$|MN|=2\sqrt{3}$，
所以圓心C到直線y=kx+1的距離為$d=\sqrt{2}$，------------------（2分）
即$\frac{|-2k-1+1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$------------------（2分）
解得k²=1，k=±1------------------（1分）

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．