Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE=BC，AE⊥BE，M為CE上一點(diǎn)，且BM⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BC；
（2）如果點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ADE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BM⊥AE，而AE⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM?平面EBC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AE⊥平面EBC，根據(jù)BC?平面EBC，則AE⊥BC．
（2）取DE中點(diǎn)H，連接MH、AH，根據(jù)BM⊥平面ACE，EC?平面ACE，可知BM⊥EC，因?yàn)锽E=BC，則M為CE的中點(diǎn)．根據(jù)中位線可知MH∥，且MH=，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以DC∥AB，且DC=AB，則MH∥，且MH=，而N為AB中點(diǎn)，則MH∥AN，且MH=AN，從而四邊形ANMH為平行四邊形，則MN∥AH，因?yàn)镸N?平面ADE，AH?平面ADE，根據(jù)線面平行的判定定理可知MN∥平面ADE．
解答：證明：（1）因?yàn)锽M⊥平面ACE，AE?平面ACE，
所以BM⊥AE．（2分）
因?yàn)锳E⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM?平面EBC，
所以AE⊥平面EBC．（4分）
因?yàn)锽C?平面EBC，
所以AE⊥BC．（6分）
（2）取DE中點(diǎn)H，連接MH、AH．
因?yàn)锽M⊥平面ACE，EC?平面ACE，
所以BM⊥EC．
因?yàn)锽E=BC，
所以M為CE的中點(diǎn)．（8分）
所以MH為△EDC的中位線．
所以MH∥，且MH=．（10分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以DC∥AB，且DC=AB．
故MH∥，且MH=．
因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，
所以MH∥AN，且MH=AN．
所以四邊形ANMH為平行四邊形，
所以MN∥AH．（12分）
因?yàn)镸N?平面ADE，AH?平面ADE，
所以MN∥平面ADE．（14分）
點(diǎn)評：判斷或證明線面平行的常用方法有：
①利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）；
②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；
③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；
④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．