Question

（08年山東卷理）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時，有f(x)≤x-1.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，

      當(dāng)n=2時，

     所以  

（1）當(dāng)a＞0時，由f(x)=0得

＞1，＜1，

此時 .

當(dāng)x∈（1，x₁）時, f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x₁+∞）時,  f(x)單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)a≤0時，恒成立，所以f(x)無極值.

綜上所述，n=2時，

當(dāng)a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為

當(dāng)a≤0時，f(x)無極值.

（Ⅱ）證法一：因?yàn)?I>a=1,所以

           當(dāng)n為偶數(shù)時，

令

則 （x≥2）.

所以當(dāng)x∈[2,+∞]時，g(x)單調(diào)遞增，

又g(2)=0

因此恒成立，

        所以f(x)≤x-1成立.

當(dāng)n為奇數(shù)時，

        要證,由于，所以只需證ln(x-1) ≤x-1,

        令 h(x)=x-1-ln(x-1),

        則  （x≥2）,

        所以當(dāng)x∈[2，+∞]時，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，

       所以當(dāng)x≥2時，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命題成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

證法二：當(dāng)a=1時，

              當(dāng)x≤2時，對任意的正整數(shù)n，恒有，

              故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.

              令

              則

              當(dāng)x≥2時，≥0，故h(x)在上單調(diào)遞增，

              因此當(dāng)x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

              故當(dāng)x≥2時，有

              即f（x）≤x-1.