已知函數(shù)f（x）=（a+1）x2+4ax-3．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，若方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時，在x=2時取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由a＞0可知函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，若方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1，所以只需f（1）＜0即可；
（Ⅱ）分二次項系數(shù)a+1=0，a+1＞0，a+1＜0三種情況討論，當(dāng)a+1=0是顯然不滿足題意，當(dāng)二次項系數(shù)大于0時，需要對稱軸為直線x=1或在其左側(cè)，當(dāng)二次項系數(shù)小于0時需對稱軸在直線x=2或其右側(cè)，求解后取并集即可得到答案．
解答：解：（1）當(dāng)a＞0時，a+1＞0，故拋物線y=f（x）開口向上，
而△=（4a）2+12（a+1）=4（4a2+3a+3）＞0，
則拋物線y=f（x）與x軸總有兩個交點，要方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1，
則有
a＞0
f(1)＜0
⇒0＜a＜
2
5
；
（2）若a+1=0，即a=-1時，則f（x）=-4x-3，不在x=2時取得最大值，
若a+1＞0，即a＞-1時，則-
2a
a+1
≤1，解得a≥-
1
3
，
若a+1＜0，即a＜-1時，則-
2a
a+1
≥2，解得a≥-
1
2
，與a＜-1矛盾．
綜上可得a的取值范圍是a≥-
1
3
．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解答的關(guān)鍵是借助于二次函數(shù)的對稱軸和端點值之間的關(guān)系，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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