Question

如圖所示，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC_l與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA_l⊥A₁C，AA_l=A₁C．

(1)求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大�。�

(2)求側(cè)面A₁ABB_l與底面ABC所成二面角的大�。�

(3)求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB_l的距離．

Answer 1

解：(1)作A₁E⊥AC，垂足為E．

∵側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，

∴A₁E⊥底面ABC，

    ∴A₁AE是側(cè)棱A₁A與底面ABC所成的角．

    又∵AA₁上A₁C，AA₁=A₁C，

    ∴∠A₁AE=45°為所求．

    (2)作EF⊥AB，垂足為F，如圖所示．

    ∵A₁E⊥底面ABC，∴A₁F⊥AB，

∴∠A₁FE是側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的平面角．

又∠ABC=90°，BC=2，AC=2，E為AC的中點(diǎn)，

    ∴EF=1，A₁E=AE=

    在Rt△A₁EF中，tan∠A₁FE=，

    故∠A₁FE=60°，即側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角等于60°．

    (3)解法一：作CG⊥側(cè)面A₁ABB₁，垂足為G，即CG為所求．連接BG．

     ∵AB⊥BC，由三垂線定理得AB⊥BG．

  又A₁F⊥AB，∴BG∥A₁F．

     又EF//BC，∴∠GBC=∠A₁FE=60°，

     在Rt△GBC中，GC=BC?sin60°=．

     ∴頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB_l的距離等于．

解法二：由(2)知EF⊥AB，A₁F⊥AB，

∴AB⊥平面A₁EF，而AB側(cè)面A₁ABB₁，

∴側(cè)面A₁ABB_l⊥平面A₁ EF．

作EH⊥A₁F，則EH⊥側(cè)面A₁ABB₁．

       ∴EH是點(diǎn)E到A₁ABB_l的距離．

       在Rt△EFH中，EH=EF?sin60°=．

       又E是AC的中點(diǎn)，故C到側(cè)面A₁ABB_l的距離等于2EH=．

       解法三：根據(jù)定義，點(diǎn)C到平面A₁ABB₁的距離即為三棱錐C―A₁AB的高h(yuǎn)．

       由=，得

，

即，

h=為所求距離．