已知定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)滿足,且。
（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性并證明之；
（Ⅱ）解關(guān)于的不等式：；
（Ⅲ）設(shè)集合,.，若集合有且僅有一個元素，求證: 。

（Ⅰ）函數(shù)為R上的奇函數(shù),（Ⅱ）,（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）抽象函數(shù)奇偶性的證明，先令，再令可求得出函數(shù)為奇函數(shù),（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上為奇函數(shù)，則利用單調(diào)性及與-1的關(guān)系可解得； （Ⅲ）先對進(jìn)行化簡，再利用兩方程有唯一解求證.
試題解析：（Ⅰ）令,
令,,
函數(shù)為R上的奇函數(shù).                        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),
故                   （8分）
（Ⅲ）


,又有且僅有一個元素,即方程組有唯一解,
即僅有一個實根, ,即 （13分）
考點：抽象函數(shù)求奇偶性,不等關(guān)系,交集定義,函數(shù)與方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)的定義域，并求函數(shù)的值域。（用a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是定義域為的單調(diào)減函數(shù)，且是奇函數(shù)，當(dāng)時，
（1）求的解析式；（2）解關(guān)于的不等式

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

函數(shù)（為常數(shù)）的圖象過原點，且對任意總有成立；
（1）若的最大值等于1，求的解析式；
（2）試比較與的大小關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).當(dāng)時，，圖像如圖所示.

（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若方程有兩解，寫出的范圍；
（Ⅲ）解不等式，寫出解集.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知奇函數(shù)

（1）求實數(shù)的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出的圖象；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，試確定實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

新晨投資公司擬投資開發(fā)某項新產(chǎn)品，市場評估能獲得萬元的投資收益.現(xiàn)公司準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于萬元，同時不超過投資收益的.
（1）設(shè)獎勵方案的函數(shù)模型為，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型的基本要求.
（2）下面是公司預(yù)設(shè)的兩個獎勵方案的函數(shù)模型：
①；    ②
試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．
(Ⅰ)求的表達(dá)式；
(Ⅱ)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．

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