已知O是銳角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且2x+10y=5，則
AB
•
AC
=
20
20
．
分析：分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連結(jié)OD、OE，由三角形外接圓的性質(zhì)得OD⊥AB且OE⊥AC，由此利用直角三角形中三角函數(shù)的定義和數(shù)量積的公式，算出
AO
•
AB
=
1
2
|
AB
|2=18且
AO
•
AC
=
1
2
|
AC
|2=50．最后在等式
AO
=x
AB
+y
AC
的兩邊分別與
AB
、
AC
作數(shù)量積，將得到的等式與2x+10y=5組成方程組聯(lián)解，可得
AB
•
AC
的值．
解答：解：分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連結(jié)OD、OE，
∵O是銳角△ABC的外接圓的圓心，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
由此可得Rt△AOD中，cos∠OAD=
|AD|
|AO|
=
1
2
•
|AB|
|AO|
，
∴
AO
•
AB
=
|AO|
•
|AB|
cos∠OAD=
|AO|
•
|AB|
•
1
2
•
|AB|
|AO|
=
1
2
|
AB
|2=18．
同理可得
AO
•
AC
=
1
2
|
AC
|2=50．
∵
AO
=x
AB
+y
AC
，
∴等式的兩邊都與
AB
作數(shù)量積，得
AO
•
AB
=x
AB
2+y
AB
•
AC
，化簡(jiǎn)得18=36x+y
AB
•
AC
，…①
同理，等式的兩邊都與
AC
作數(shù)量積，化簡(jiǎn)得50=x
AB
•
AC
+100y，…②
又∵根據(jù)題意知2x+10y=5，…③
∴①②③聯(lián)解，可得
AB
•
AC
=20，x=
1
4
且y=
9
20
．
故答案為：20
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角形外接圓的性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)在直角三角形中的定義、向量量的數(shù)量積公式和方程組的解法等知識(shí)，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•遼寧一模）已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=
sinθ
sinθ
．（用θ表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且∠A=
π
4
，其外接圓半徑為R，若
cosB
c
•
AB
+
cosC
b
•
AC
=
1
2R
m 
AO
，則m=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，
.
AB
 
  
.
=16，
.
AC
 
  
.
=10
2
，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且32x+25y=25，則
.
AO
 
  
.
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，tanA=
2
2
，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=
 
．

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