Question

已知點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q（2，0）的直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，求證為常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直線(xiàn)PA和PB的斜率分別為與，（x），由題設(shè)知，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（2，0）的直線(xiàn)為y=k（x-2），將它代入x²-y²=2，得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．由韋達(dá)定理，得，由此能求出=-1．直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，E（2，），F(xiàn)（2，-），．所以為常數(shù)-1．
解答：（本題滿(mǎn)分12分）
解：（Ⅰ）直線(xiàn)PA和PB的斜率分別為與，（x），…（2分）
∵點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為1，
∴，
即y²=x²-2，…（4分）
所求點(diǎn)P的軌跡方程為x²-y²=2，（x）．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（2，0）的直線(xiàn)為y=k（x-2），…（6分）
將它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韋達(dá)定理，得，…（8分）
∴
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•-（1+2k²）•+1+4k²
=-1．    …（10分）
當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，
，解得E（2，），F(xiàn)（2，-），
此時(shí)=-1．    …（12分）
故．
所以為常數(shù)-1．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．