已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,λ),且對(duì)任意x∈R,
都有f(x+1)=f(x)+2.?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足.
(1)當(dāng)x為正整數(shù)時(shí),求f(n)的表達(dá)式;(2)設(shè)λ=3,求a1+a2+a3+…+a2n;
(3)若對(duì)任意n∈N*,總有anan+1<an+1an+2,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
(1)22n+n﹣2.(2)λ的取值范圍為(﹣2,+∞).
解析試題分析:解:
(1)記bn=f(n),由f(x+1)=f(x)+2有bn+1﹣bn=2對(duì)任意n∈N*都成立,
又b1=f(1)=λ,所以數(shù)列bn為首項(xiàng)為λ公差為2的等差數(shù)列, 2分
故bn=2n+λ﹣2,即f(n)=2n+λ﹣2. 4分
(2)由題設(shè)λ=3
若n為偶數(shù),則an=2n﹣1;若n為奇數(shù)且n≥3,則an=f(an﹣1)=2an﹣1+λ﹣2=2•2n﹣2+λ﹣2=2n﹣1+λ﹣2=2n﹣1+1
又a1=λ﹣2=1,
即- 6分
a1+a2+a3++a2n=(a1+a3++a2n﹣1)+(a2+a4++a2n)=(20+22++22n﹣2+n﹣1)+(21+23++22n﹣1)
=(1+21+22++22n﹣1)+n﹣1=22n+n﹣2. 8分
(3)當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí),an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=2n[2n+1+λ﹣2﹣(2n﹣1+λ﹣2)]=3•22n﹣1>0; 10分
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=(2n+λ﹣2)(2n+1﹣2n﹣1)]=3•2n﹣1(2n+λ﹣2),因?yàn)閍nan+1<an+1an+2,所以2n+λ﹣2>0,
∵n為偶數(shù),∴n≥2,
∵2n+λ﹣2單增∴4+λ﹣2>0,即λ>﹣2
故λ的取值范圍為(﹣2,+∞). 12分
考點(diǎn):數(shù)列的求和,以及數(shù)列單調(diào)性
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的單調(diào)性來(lái)得到證明,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對(duì)一切恒
成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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已知數(shù)列中, .
(Ⅰ)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)求證:是遞增數(shù)列的充分必要條件是 .
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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,常數(shù),且對(duì)一切正整數(shù)都成立。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),,求證: <4
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(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿(mǎn)足.
(Ⅰ)計(jì)算的值,猜想的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.
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已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,求 。
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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)在直線(xiàn)上.數(shù)列滿(mǎn)足,且,前9項(xiàng)和為153.
(1)求數(shù)列、{的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前和為,求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值;
(3)設(shè),問(wèn)是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)是公差的等差數(shù)列,是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且,
.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)…),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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(本題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)在中是否存在使得是中的項(xiàng),若存在,請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的一項(xiàng)(不要求寫(xiě)出所有的項(xiàng));若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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