Question

已知函數(shù)g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)h（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（1）試寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）設(shè)f（x）=g（x）-h（x），判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）求f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求其解析式；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；（3）對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）h（x）=g（-x）=log_a（1-x）…（3分）
（2）f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），…（5分）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1-x）-log_a（1+x）]=-f（x）
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；     …（7分）
（3）當(dāng)0＜a＜1，所以

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，解得，-1＜x＜0…（9分）
當(dāng)a＞1，所以

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得，0＜x＜1…（11分）
綜上可知，當(dāng)a＞1時(shí)，0＜x＜1，當(dāng)0＜a＜1，時(shí)-1＜x＜0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性，屬于中檔題．