Question

設a為實數(shù)，設函數(shù)的最大值為g（a）．
（Ⅰ）設t=，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）試求滿足的所有實數(shù)a

Answer 1

【答案】分析：（I）先求定義域，再求值域．由轉化．
（II）求g（a）即求函數(shù)的最大值．嚴格按照二次函數(shù)求最值的方法進行．
（III）要求滿足的所有實數(shù)a，則必須應用g（a）的解析式，它是分段函數(shù)，必須分情況選擇解析式進行求解．
解答：解：（I）
要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴，t≥0①
t的取值范圍是
由①得
∴m（t）=a（）+t=

（II）由題意知g（a）即為函數(shù)的最大值．
注意到直線是拋物線的對稱軸，
分以下幾種情況討論．
（1）當a＞0時，函數(shù)y=m（t），的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由＜0知m（t）在上單調遞增，
∴g（a）=m（2）=a+2
（2）當a=0時，m（t）=t，，
∴g（a）=2．
（3）當a＜0時，函數(shù)y=m（t），的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若，即則
若，即則
若，即則g（a）=m（2）=a+2
綜上有

（III）情形1：當a＜-2時，
此時，
由，與a＜-2矛盾．
情形2：當，時，
此時，
解得，與矛盾．
情形3：當，時，
此時
所以，
情形4：當時，，
此時，，
解得矛盾．
情形5：當時，，
此時g（a）=a+2，
由解得矛盾．
情形6：當a＞0時，，
此時g（a）=a+2，
由，由a＞0得a=1．
綜上知，滿足的所有實數(shù)a為：，或a=1
點評：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學思想方法和綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．